LIMIT DAN KEKONTINUN FUNGSI LIMIT FUNGSI

Konsep Limit Fungsi

Kalkulus di ferensial dan integral di bangun berdasarkan konsep limit fungsi ,Konsep ini dikenal sebagai suatu proses tak hingga, yang merupakan suatu ciri khas dari kalkulus . Kita mempunyai sebuah fungsi yang peubah bebesnya menuju suatu titik tertentu.Dalam arti bahwa jarak dari peubah bebasnya ketitik tersebut semangkin lama semangkin kecil.Pada situasi ini muncul sebagai permasaalahan.Bagaimana kondisi untuk daerah asal fungsinya agar peubah bebasnya dapat menuju suatu titik tertentu, Jika hal ini terjadi, bagaimana peubah tak bebasnya apakah menuju kesuatu titik di sumbu y, ataukah akan membesar/mengecil tanpa batas, yaitu menuju positif/negative tak hingga . masalah ini berkaitan dengan limit fungsi di satu titik yang konsepnya akan segera di bahas ,Masalah lain adalah bagaimana bila peubah suatu fungsi membesar tanpabatas (menuju ke positif/ negative takhingga. ) . masalah ini berkaitan dengan limit tak hingga, yang konsep nya akan di bahas setelah limit dankekontuan fungsi.

Kita mempunyai fungsi y = f (x) dan sebuah titik c . agar peubah bebas x dapat bergerak menuju titik tetap c , kondisinya adalah di sekitar titik c harus terdapat tak hingga, banyaknya titik dari daerah asal fungsi f .Dalam kontek ini ,kondisi yang paling sederhana adalah daerah asal fungsi f berbentuk selang terbuka/ yang memuat c , kecuali mungkin di c sendiri. Pada gambar 1 di perlihatkan fungsi f yang terdefinisi pada / -{ c} , di mana / adalah selang terbuka yang memuat c .

    Perhatikan bahwa jika x dekat dengan c , dan x ≠ c , maka f (x) dekat dengan L . situasi ini dapat di tulis " jika x mendekati c , maka f(x) mendekati L".

 

 

 

Untuk memberi arti istilah "mendekati" ,kita perlu ukuran jarak dua titik pada garis . Ukuran jarak yang akan digunakan inilah nilai mutlak . istilah mendekati titik tetap c berarti jarak antara titik sebarang x ketitik c semangkin lama semangkin kecil . Arti dari "jika x mendekati c ,maka f (x) mendekati L". adalah jarak f(x) ke L dapat di buat semangkin dekat dengan cara mengambil x yang makindekat ke c. Berdasarkan situasi in isecara intuitif kita bangun konsep limit di satu titik Lambang

Lim f (x) = L

Menyatakan bahwa limit fungsi f di c adalah L , yang mengambarkan situasi pada gbr. 1 .Informasi yang dapat kita peroleh dari sini adalah;

    F (x) dekat dengan L bila x dekat ke c . dan x ≠ c.

Atau

    F (x) mendekati L bila x mendekati c ,( lambangnya : f (x) à L bila x à c. )

    Dengan cara yang lebih saksama, kita dapat menyatakan bahwa f(x) dapat di buat sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke c tetapi x ≠ c .

Jika untuk ukuran deka tdigunakan ukuran jarak nilai mutlak, maka kita sampai pada kesimpulan

    Jarak f (X) ke L dapat di buat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak x ke c yang cukup keci ldan x ≠ c.

Atau    | f (x) – L | dapat di buat sebarang kecil dengan cara mengambil | x – c | yang cukup kecil x ≠ c.

Secara matematis ,bila (epsilon) dan δ (delta) menyatakan untuk bilangan kecil, maka ini berarti bahwa |f (x) – L | dapat di buat lebih kecil dari sembarang bilangan > 0 dengan cara mengambil | x – c | yang lebih kecil dari suatu bilangan δ > 0 dan x ≠ c.

Dengan perkataan lain ,

Bila > 0 diberikan ,kita dapat menentukan suatu δ > 0 sehigga untuk x yang memenuhi 0 <| x – c | < ó , berlaku | f (x ) – L | <

Ditulis dengan lambing matematika ,bila menyatakan kuartor unipersal ( untuksembarang /setiap/semua), E menyatakankuantoreksistensial(terdapatsuatu ) , dan ϶ menyatakan kata sambung sehigga , maka kita mempunyai,

     > 0 E δ > 0 ϶ 0 <|x – c |     < δ |f (x) – L | <

Sebagai pengertian matematis dari lim f(x )= L ,jadi kita sampai pada depen isi berikut.

Definisi2.1

Misalkan fungsi f terdepinisi pada selang terbuka / yang memuat c , kecuali mungkin di c sendiri. Limit fungsi f di c adalah L ( ditulis Lim f (x) = L , atau f (x) à L bila x -à c ) jika > 0 ϶ o <| x – c | < δ à|f (x) – L | <

Ilustrasi 2.1

• Pada fungsi f (x) = 5x + 2, jika x à - 1, maka f (x) à - 3 .disini kita menyatakan bahwa lim f (x) = - 3, yang dapat di buktikan dengan | definisi limit ( contoh 2.2 )
  
• Pada fungsi f (x) = x² ,jika x à 3 maka f (x) à 9. Disini kita mengatakan bahwa lim f (x) = 9 , yang dapat dibuktikan dengan definisi limit (contoh 2.3 )
  

Catatan untuk membuktikan limit f (x) = L ,kita mulai dengan diberikan > 0 sebarang , kemudian carilah suatuδ > 0 ( δ bergantung pada ) sehigga pernyataan

        0 <| x – c | < δ à | f (x) – L | <

Dapat dibuktikan;

Contoh 2.2 buktikan Lim (5x + 2 )= - 3

Jawab ; diberikan > 0 , kita akan menentukan suatu δ > 0 sehingga memenuhi

    0 < |x + 1 | < δ à|(5x + 2 ) + 3| < ,

Atau , 0 < | x + 1 | < δ à 5| x + 1 | < .

Untu kmencapai ini, plihlah 0 < δ ≤ 1/5 , maka

0 < | x – 1 | < δ ≤ 1/5 à 5| x + 1 | < 5. 1/5 = à|( 5x +2 ) + 3 | < ,

Sehingga terbuktilah yang di inginkan.

 

Contoh ; 2.3 Buktikan lim x² = 9

Jawab; Diberikan Ԑ > 0 ,kita akan menemukan suatu δ > 0 sehingga memenuhi,

0 < | x – 3 | <δ | x² – 9 | < Ԑ

Atau,

0 < | x – 3 | < δ | x + 3 || X – 3 | < Ԑ

Jika factor |x + 3 | dapat dibatasi oleh suatu konstanta positif, maka masalahnya dapat di selaesaikan seperti contoh; 2.2 , Untuk ini , kita andaikan 0 < δ ≤ 1 . dari hubungan 0 < | x – 3 |< δ ≤ 1 dan ketaksamaan sehingga diperoleh .

| x + 3 | = | x – 3 + 6 | ≤ | x – 3 | + 6 < 1 + 6 = 7

Berdasarkan hasil ini , kita harus menentukan suatu δ > 0 sehingga memenuhi;

0 < | x – 3 | < δ | x + 3 ||x – 3 | < 7 | x – 3 | < Ԑ

Untuk sembarang Ԑ > 0 yang di berikan, pilihlah δ = min {1, 1/7 Ԑ }

Maka dengan mengunakan δ ≤ 1 dan δ ≤ 1/7Ԑ di peroleh;

0 < | x – 3 | < δ |x² – 9 | = |x + 3 | | x – 3 | < 7 | x – 3 | < 7δ ≤ 7.1/7Ԑ = Ԑ . Dengan demikian terbuktilah lim x² = 9

Cara lain ; nyatakan x² – 9 sebagai suku banyak dalam x – 3 , hasilnya adalah; x² – 9 = ( x – 3 )² + 6x - 18 = ( x – 3 )² – 6 ( x – 3 ) .

Dengan mengunakan ketaksamaan segitiga dan 0 < | x – 3 | < δ di peroleh; | x²- 9 | = | (x-3)² – 6(x – 3 )|≤ | x – 3 |² + 6 | x – 3 | < δ² + 6δ. Kemudian dengan membatasi δ sehingga 0 < δ≤ 1, diperoleh δ²< δ. ini mengakibatkan; 0 < | x – 3 |< δ ≤ 1 | x² – 9 | < δ² + 6δ < δ + 6 δ = 7δ.

Untuk sembarang Ԑ > 0 yang di berikan , pilihlah δ min { 1, 1/7Ԑ} , maka dengn menggunakan δ ≤ 1 dan δ ≤ 1/7Ԑ di peroleh

0 < | x – 3 |< δ | x² – 9 |< 7δ ≤ 7.1/7Ԑ = Ԑ

Dengan demikian terbuktilah lim x² = 9

Catatan cara lain pada contoh 2.3 dapat di gunakan untuk membuktikan limit suku banyak di c. untuk membuktikan lim f (x) = f (c) , dengan y = f (x ) suku banyak.

Kita nyatakan | f (x) – f (c ) | sebagai suku banyak dalam | x – c |, kemudian gunakan ketaksamaan segitiga dan buatlah pembatasan 0 < |x – c | < δ ≤ 1.

 

2.1.2. Sifat-sifat limit Fungsi di satu Titik

Dengan mengunakan definisi limit fungsi di satu titik , kita dapat membuktikan berbagai sifat limit fungsi dalam teorema berikut;

Teorema 2.2. Sifat Limit Fungsi

1. Ketunggalan limit : jika lim f (x) = L dan lim g (x) = M, maka L = M
   
2. Operasi Aljabar pada Limit jika lim f (x) = L dan lim g (x) = M ,maka ;
   
   1. Lim f (x) + lim g (x) = L + M = lim f(x) + lim g (x )
      
   2. Lim f (x) - lim g (x) = L - M = lim f(x) - lim g (x )
      
   3. Lim f (x) . lim g (x) = L.M =( lim f(x))(lim g (x ))
      
   4. Lim f (x)/lim g (x) = L/M = lim f(x)/lim g (x ) , M= lim g (x) ≠ 0
      
3. Limit Fungsi yang Sederhana
   
   1. Lim k = k , k konstanta
      
   2. Lim x = c
      
   3. Lim (px + q )= pc + q ; p,q kostanta,
      
   4. Lim x² = c²
      
   5. Lim 1/x = 1/c
      
   6. Lim
      
4. Limit Suku Banyak Berderajat
   
   Jila p_n(x)= a₀xⁿ + a₁x^n-1 +……+ a_n , maka lim p_n(x)= p_n(c), c ϵ Df = R
   
5. Limit fungsi Rasional (hasil bagi dua suku banyak)
   
   Jika f (x) =p_n(x)/p_m(x); p_n , p_m suku banyak, maka limit f (x) = f ( c ) , c ϵ Df, dimana Df= {x ϵ R: p_m(x) ≠ 0 }
   
   
   
   Ilustrasi 2.4 ;
   
   1. Berdasarkan 2.2.4, lim (2x³ – 2x² + 6) = 2(-1)³- 3(-1)² + 6 = 1
      
   2. Berdasarkan 2.2.5, lim x³-2x + 1/x²-3x = 8-4+1/4-6 =-2½
      
   3. Agar teorema 2.2.4, atau 2.2.5, dapat di gunakan, penampilan bentuk fungsi perlu dirubah dahulu agar tidak berbentuk 0/0 perhatikan perhitungan limit berikut.
      
      Lim x²-x-2/x-2 – lim (x+1)(x-2)/x-2= lim (x+1) = 3
      

 

2.1.4, Limit kiri dan Limit kanan

Sebelum kita berkenalan dengan konsep limit kiri dan limit kanan , perhatikan dahulu fungsi f beserta grafiknya pada ilistrasi berikut;

Ilustrasi 2.5

Peerhatikan grafik fungsi

F(x) = |x|/x ={-1 , x < 0 }, {1 , x > 0}

Pada gb. 2. Fungsi f terdepinisi pada ; Df =R –{0}

Informasi yang dapat kita peroleh dari situasi ini adalah sebagai berikut;

• Nilai f (x) dapat dibuat sebaarang dekat ke 1, bilamana x dibuat cukup dekat ke 0 dari sebeklah kanan, Disini kita katakana bahwa fungsi f mempunyai limit kanan di 0 dengan nilai limit 1, di tulis lim f(x) = 1
  
• Nilai f (x) dapat dibuat sebaarang dekat ke -1, bilamana x dibuat cukup dekat ke 0 dari sebeklah kiri, Di sini kita katakana bahwa fungsi f mempunyai limit kiri di 0 dengan nilai limit -1, di tulis lim f(x) = -1
  
• Nilai f (x) tidakl mendekati suatu nilai manapun bila di buat mendekati 0, dari arah sebelah kiri 0, f(x) mendekati -1 dari arah sebelah kanan 0, f(x) mendekati 1 , karena limitnya dari arah kiri dan dari arah kanan berbeda, maka kita katakana bahwa lim f(x) = lim |x| /x, tidak ada
  
  
  
  Fakta pada Ilustrasi 2.5 merupakan suatu phenomena yang dijadikan untuk memperkenalkan konsep limit kiri dan limit kanan dari fungsi f di c , yang definisinya sebagai berikut;
  

 

• Nilai f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke 1 bilamana x dibuat cukup dekat ke 0 dari sebelah kanan. Di sini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai limit kanan di 0 dengan nilai limit 1, ditulis .
  
• Nilai f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke -1 bilamana x dibuat cukup dekat ke 0 dari sebelah kiri. Di sini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai limit kiri di 0 dengan nilai limit -1, ditulis .
  
• Nilai f(x) tidak mendekati suatu nilai manapun bilamana x dibuat mendekati 0. Dari arah sebelah kiri 0, f(x) mendekati -1,sedangkan dari arah sebelah kanan 0, f(x) mendekati 1. Karena limitnya dari arah kiri dan dari arah kanan berbeda, maka kita katakana bahwa tidak ada.
  

Fakta pada ilustrasi tersebut merupakan suatu fenomena yang dijadikan model untuk memperkenalkan konsep limit kiri dan limit kanan dari fungsi f di c, yang definisinya sebagai berikut:

Definisi 2.3    ⋇ misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c,b) Limit kanan fungsi f di c adalah L (ditulis , atau f(x) jika

 

⋇ misalkan fungsi terdefinisi pada selang (a,c). Limit kiri fungsi di c adalah L (ditulis atau jika

 

Perhatikan Gb.3 yang memperlihatkan situasi geometri untuk limit kanan dan Gb.4 untuk limit kiri

 

 

 

 

Bandingkan kedua definisi itu dengan limit fungsi

Bila x ⟶, maka Akibatnya , yang bila digantikan pada definisi limit akan menghasilkan definisi limit kanan. Demikian juga bila

Catatan    1. Semua sifat limit fungsi di satu titik juga berlaku bilamana diganti oleh atau .

2. Jika atau tidak ada, maka juga tidak ada.

3. jika fungsi f terdefinisi pada selang terbuka (a,b), maka ditulis

Hubungan antara limit fungsi di satu titik dengan limit kiri dan limit kanannya di titik itu diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 2.4

    Teorema ini menyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan fungsi f di c dapat dihitung dengan cara menghitung limit fungsinya di c, asalkan limit fungsi tersebut ada.

Ilustrasi 2.6    1.

2.

Teorema 2.4 mengakibatkan hasil berikut, yang seringkali digunakan untuk memperlihatkan bahwa limit fungsi di satu titik tidak ada.

Teorema 2.5

Jika

2.1.5 Beberapa Sifat Penting dari Limit Fungsi

Limit Nilai Mutlak Fungsi

    Jika suatu fungsi mempunyai limit di satu titik, maka nilai mutlak fungsinya mempunyai limit di titik itu, tetapi kebalikannya tidak benar lagi

 

 

Teorema 2.6.    (1) jika , maka

(2) jika

Catatan

⋇ Teorema 2.6. (1) dibuktikan dengan menggunakan definisi limit dan ketaksamaan segitikga ⎢⎸f(x)⎸- ⎸L ⎸⎢ ≤ ⎸f(x) – L ⎸

⋇ Kebalikan teorema 2.6. (1) tidak benar lagi, kecuali dalam kasus L=0, yang memberikan teorema 2.6. (2) sebagai conto penyangkal, ambillah f(x) . Di sini ⎸f (x)⎸= tetapi tidak ada (lht hal 52)

Ilustrasi 2.7    Dengan menggunakan teorema 2.6 (1) tentang limit nilai mutlak

= ⎸= ⎸⎸= ⎸- =

Contoh 2.8 jika f(x)=f ⎸x ⎸+, selidiki apakah dan ada

Jawab untuk limit yang pertama, kita gunakan teorema 2.6 (1) tentang limit nilai mutlak, prosesnya sebagai berikut.

= )= ⎸⎸ + = 0+ = -1

Untuk menyelesaikan limit yang kedua, ambilah selang terbuka (0,2) yang memuat I kemudian perhatikan selang (0,1) untuk menghitung limit kiri, dari selang (1,2) untuk limit kanannya

⋇ Pada selang (0,1) ,yaitu untuk 0<x<1nberlaku ⎸x ⎸=x dan ⎸x-1 ⎸=1 – x

Sehingga f(x)= x+ = x-1 ini mengakibatkan

 

⋇ Pada selang (1,2 ), yaitu untuk 1<x<2 berlaku ⎸x ⎸= x dan ⎸x-1 ⎸= x-1,

Sehingga f(x)= x+ = x+1 ini mengakibatkan

 

Karena

Prinsip Apit Limit fungsi di satu titik sering kali dihitung dengan memanfaatkan sifat urutan dari fungsi pengapitnya disekitar titik itu. Jika limit fungsi dari pengapitnya mempunyai nilai yang sama, maka limit fungsinya sama dengan limit fungsi pengapitnya.

Perhatikan situasinya pada gambar

                            Teorema 2.7 (Prinsip Apit)

                            Jika di sekitar c berlaku g(x)≤f(x)≤h(x) dan

                           

                            Maka

 

Ilustrasi:

Kita akan menghitung dengan menggunakan prinsip apit

Karena di sekitar 0 berlaku |cos0 |xcos, dengan limit pengapitnya

, maka prinsip apit memberikan kemudian berdasarkan Teorema 4(2) tentang limit nilai mutlak diperoleh

 

 

Selamat datang di blog UMATH 19 (UNISMA Mathematics)